LaTex公式学习笔记

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之前我们已经配置好了 hexo 对 LaTex 公式的支持（在 markdown 的 Front Matter 中添加 mathjax: true 开启 LaTex 公式渲染支持），支持两种形式的公式输入

  • 内联公式（inline），通过 $...$ 进行包裹（必须在同一行）

    例：markdown 代码 $\phi = 30$ 对应内联公式渲染结果 \(\phi = 30\)

    在 $ 和公式之间不能存在空格，也就是说，对于$ \phi = 30 $ 并不能得到正确的渲染结果

  • 块公式（block），通过 $$...$$ 进行包裹（两个$$必须在不同行）

    例：markdown 代码

    1
    2
    3
    $$
    \int _0 ^\pi \sin(x) = 2
    $$

    对应块渲染结果 \[ \int _0 ^ \pi \sin x = 2 \]

现在我们可以在 markdown 文档中添加并渲染公式了，那么下一步就是如何正确书写公式，以及一些常用公式符号。

常用符号

可以使用在线的LaTex公式编辑器来手动选取，下面列举了一些常用的符号

关系和运算符号

\[ \begin{align} & < & & \mathtt{<} & & \leq & & \mathtt{\backslash leq} & & \ll & & \mathtt{\backslash ll} & \\ & > & & \mathtt{>} & & \geq & & \mathtt{\backslash geq} & & \gg & & \mathtt{\backslash gg} & \\ \\ & \in & & \mathtt{\backslash in} & & \subset & & \mathtt{\backslash subset} & & \subseteq & & \mathtt{\backslash subseteq} & \\ & \ni & & \mathtt{\backslash ni} & & \supset & & \mathtt{\backslash supset} & & \supseteq & & \mathtt{\backslash supseteq} & \\ & \notin & & \mathtt{\backslash notin} & \\ \\ & = & & \mathtt{=} & & \neq & & \mathtt{\backslash neq} & & \equiv & & \mathtt{\backslash equiv} & \\ & \approx & & \mathtt{\backslash approx} & & \propto & & \mathtt{\backslash propto} & \\ \\ & \parallel & & \mathtt{\backslash parallel} & & \nparallel & & \mathtt{\backslash nparallel} & & \sim & & \mathtt{\backslash sim} & \\ & \perp & & \mathtt{\backslash perp} & \\ \\ & + & & \text{+} & & - & & \text{-} & & \star & & \mathtt{\backslash star} & \\ & \times & & \mathtt{\backslash times} & & \div & & \mathtt{\backslash div} & & \cdot & & \mathtt{\backslash cdot} & \\ & \cup & & \mathtt{\backslash cup} & & \cap & & \mathtt{\backslash cap} & & \ast & & \mathtt{\backslash ast} & \\ & \vee & & \mathtt{\backslash vee} & & \wedge & & \mathtt{\backslash wedge} & & \oplus & & \mathtt{\backslash oplus} & \\ & \otimes & & \mathtt{\backslash otimes} & & \ominus & & \mathtt{\backslash ominus} & & \odot & & \mathtt{\backslash odot} & \end{align} \]

箭头符号

\[ \begin{align} & \leftarrow & & \mathtt{\backslash leftarrow} & & \rightarrow & & \mathtt{\backslash rightarrow} & \\ & \uparrow & & \mathtt{\backslash uparrow} & & \downarrow & & \mathtt{\backslash downarrow} & \\ & \updownarrow & & \mathtt{\backslash updownarrow} & & \leftrightarrow & & \mathtt{\backslash leftrightarrow} & \\ \\ & \nwarrow & & \mathtt{\backslash nwarrow} & & \nearrow & & \mathtt{\backslash nearrow} & \\ & \swarrow & & \mathtt{\backslash swarrow} & & \searrow & & \mathtt{\backslash searrow} & \\ \\ & \mapsto & & \mathtt{\backslash mapsto} & & \rightleftharpoons & & \mathtt{\backslash rightleftharpoons} & \\ & \leftharpoonup & & \mathtt{\backslash leftharpoonup} & & \rightharpoonup & & \mathtt{\backslash rightharpoonup} & \\ & \leftharpoondown & & \mathtt{\backslash leftharpoondown} & & \rightharpoondown & & \mathtt{\backslash rightharpoondown} & \\ \\ & \longleftarrow & & \mathtt{\backslash longleftarrow} & & \longrightarrow & & \mathtt{\backslash longrightarrow} & \\ & \longleftrightarrow & & \mathtt{\backslash longleftrightarrow} & & \longmapsto & & \mathtt{\backslash longmapsto} & \\ \\ & \Leftarrow & & \mathtt{\backslash Leftarrow} & & \Rightarrow & & \mathtt{\backslash Rightarrow} & \\ & \Uparrow & & \mathtt{\backslash Uparrow} & & \Downarrow & & \mathtt{\backslash Downarrow} & \\ & \Updownarrow & & \mathtt{\backslash Updownarrow} & & \Leftrightarrow & & \mathtt{\backslash Leftrightarrow} & \\ & \Longleftarrow & & \mathtt{\backslash Longleftarrow} & & \Longrightarrow & & \mathtt{\backslash Longrightarrow} & \\ & \Longleftrightarrow & & \mathtt{\backslash Longleftrightarrow} & \end{align} \]

注：当我们需要表示当且仅当关系是常用 \Longleftrightarrow ，为了简写，也可以使用 \iff （if and only if, 当且仅当) 来简化

希腊字母

\[ \begin{align} &\alpha & & \mathtt{\backslash alpha}& &\beta & & \mathtt{\backslash beta}& &\gamma & & \mathtt{\backslash gamma}& \\ &\delta & & \mathtt{\backslash delta}& &\epsilon & & \mathtt{\backslash epsilon}& &\zeta & & \mathtt{\backslash zeta}& \\ &\eta & & \mathtt{\backslash eta}& &\theta & & \mathtt{\backslash theta}& &\iota & & \mathtt{\backslash iota}& \\ &\kappa & & \mathtt{\backslash kappa}& &\lambda & & \mathtt{\backslash lambda}& &\mu & & \mathtt{\backslash mu}& \\ &\nu & & \mathtt{\backslash nu}& &\xi & & \mathtt{\backslash xi}& &\omicron & & \mathtt{\backslash omicron}& \\ &\pi & & \mathtt{\backslash pi}& &\rho & & \mathtt{\backslash rho}& &\sigma & & \mathtt{\backslash sigma}& \\ &\tau & & \mathtt{\backslash tau}& &\upsilon & & \mathtt{\backslash upsilon}& &\phi & & \mathtt{\backslash phi}& \\ &\chi & & \mathtt{\backslash chi}& &\psi & & \mathtt{\backslash psi}& &\omega & & \mathtt{\backslash omega}& \\ \\ & \varepsilon & & \mathtt{\backslash varepsilon} & & \vartheta & & \mathtt{\backslash vartheta} & & \varpi & & \mathtt{\backslash varpi} & \\ & \varrho & & \mathtt{\backslash varrho} & & \varsigma & & \mathtt{\backslash varsigma} & & \varphi & & \mathtt{\backslash varphi} & \\ & \varkappa & & \mathtt{\backslash varkappa} & \\ \\ &\Gamma & & \mathtt{\backslash Gamma}& & \Lambda & & \mathtt{\backslash Lambda} & &\Sigma & & \mathtt{\backslash Sigma}& \\ & \Psi & & \mathtt{\backslash Psi} & &\Delta & & \mathtt{\backslash Delta}& & \Xi & & \mathtt{\backslash Xi} & \\ &\Upsilon & & \mathtt{\backslash Upsilon}& & \Omega & & \mathtt{\backslash Omega} & &\Theta & & \mathtt{\backslash Theta}& \\ & \Pi & & \mathtt{\backslash Pi} & &\Phi & & \mathtt{\backslash Phi}& \end{align} \]

三角函数

\[ \begin{align} &\sin& &\mathtt{\backslash sin}& &\cos& &\mathtt{\backslash cos}& \\ &\tan& &\mathtt{\backslash tan}& &\cot& &\mathtt{\backslash cot}& \\ &\sec& &\mathtt{\backslash sec}& &\csc& &\mathtt{\backslash csc}& \\ \\ &\arcsin& &\mathtt{\backslash arcsin}& &\arccos& &\mathtt{\backslash arccos}& \\ &\arctan& &\mathtt{\backslash arctan}& \\ \\ &\sinh& &\mathtt{\backslash sinh}& &\cosh& &\mathtt{\backslash cosh}& \\ &\tanh& &\mathtt{\backslash tanh}& &\coth& &\mathtt{\backslash coth}& \\ \end{align} \]

其他符号

\[ \begin{align} & \infty & & \mathtt{\backslash infty} & & \Re & & \mathtt{\backslash Re} & \\ & \forall & & \mathtt{\backslash forall} & & \exists & & \mathtt{\backslash exists} & \\ & \nexists & & \mathtt{\backslash nexists} & & \emptyset & & \mathtt{\backslash emptyset} & \\ & \varnothing & & \mathtt{\backslash varnothing} & & \top & & \mathtt{\backslash top} & \\ & \partial & & \mathtt{\backslash partial} & & \nabla & & \mathtt{\backslash nabla} & \end{align} \]

标识符号

有时我们可能需要在字母上添加上标（例如平均数 \(\bar{x}\)，估计值 \(\hat{x}\) 等），下标（下划线 \(\underline{x}\) ）等

Code Result Code Result
a' or a^{\prime} \(a'\) a'' \(a''\)
\hat{a} \(\hat{a}\) \bar{a} \(\bar{a}\)
\acute{a} \(\acute{a}\) \check{a} \(\check{a}\)
\grave{a} \(\grave{a}\) \dot{a} \(\dot{a}\)
\mathring{a} \(\mathring{a}\) \breve{a} \(\breve{a}\)
\tilde{a} \(\tilde{a}\) \vec{a} \(\vec{a}\)
\underline{a} \(\underline{a}\) \overline{a} \(\overline{a}\)
\overrightarrow{AB} \(\overrightarrow{AB}\) \overleftarrow{AB} \(\overleftarrow{AB}\)
\widehat{AB} \(\widehat{AB}\) \widetilde{AB} \(\widetilde{AB}\)

括号

常见的括号 ()、中括号 []、以及大括号 {} 都可以直接在键盘中输入，由于大括号在 LaTex 中的特殊含义（用来包裹一段公式），我们使用时需要添加 \ 进行转义，即 \{ 和 \}

对于竖线 | ，我们可以直接从键盘中输入，也可以使用 \mid 来表示，双竖线（范数的表示）可以使用 \| 来表示（不能使用两个竖线，因为双竖线应该表示为一个字符），示例如下

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\|x\|_2

\[ \|x\|_2 \]

其他分隔符表示如下 \[ \begin{align} & / & & \mathtt{/} & & \backslash & & \mathtt{\backslash backslash} & \\ & \langle & & \mathtt{\backslash langle} & & \rangle & & \mathtt{\backslash rangle} & \\ & \lceil & & \mathtt{\backslash lceil} & & \rceil & & \mathtt{\backslash rceil} & \\ & \lfloor & & \mathtt{\backslash lfloor} & & \rfloor & & \mathtt{\backslash rfloor} & \end{align} \]

当我们使用这些括号包裹一个大的公式时，如下所示

1
(\frac{x^2}{y^3})

\[ (\frac{x^2}{y^3}) \]

我们可以发现这个括号（parentheses）不能完全的包裹住公式，此时我们需要使用 \left(...\right) 来自动调整括号的大小

1
\left(\frac{x^2}{y^3}\right)

\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right) \]

除此之外，在中间表示时还可以使用 \middle 来进行控制（条件概率时）

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P\left(A=2\middle|\frac{A^2}{B}>4\right)

\[ P\left(A=2\middle| \frac{A^2}{B}>4\right) \]

而对于花括号（curly braces）和方括号（brackets）时，需要使用转义符进行转义 \{

1
\left\{\frac{x^2}{y^3}\right\}

\[ \left\{\frac{x^2}{y^3}\right\} \]

我们还可以使用 . 来忽略左侧或右侧符号

1
\left. \frac{x^3}{3} \right| _0 ^1

\[ \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 \]

最终，如果我们还是不满意，可以手动调整符号的大小

1
( \big( \Big( \bigg( \Bigg(

\[ ( \big( \Big( \bigg( \Bigg( \]

空格

如果我们直接在公式中输入空格，如果直接在字母中间插入空格，会被直接忽略掉，如果我们明确需要插入空格，需要通过指令形式显式给出，在 LaTex 中空格相关的指令总结如下

指令 描述 示例
（space） 默认空格 \(abc \rightarrow \leftarrow abc\)
\, 短空格(3/18 em) \(abc \rightarrow\,\leftarrow abc\)
\! 短负空格(-3/18 em) \(abc \rightarrow \! \leftarrow abc\)
!: 中空格(4/18 em) \(abc \rightarrow\:\leftarrow abc\)
!; 大空格(5/18 em) \(abc \rightarrow\;\leftarrow abc\)
\enspace 0.5字宽空格 (0.5 em) \(abc \rightarrow\enspace\leftarrow abc\)
\quad 1字宽空格(1 em) \(abc \rightarrow\quad\leftarrow abc\)
\qquad 2字宽空格(2 em) \(abc \rightarrow\qquad\leftarrow abc\)
\hspace{3em} 自定义宽度空格 \(abc \rightarrow\hspace{3em}\leftarrow abc\)

注：em 是一种长度单位，和 px 意义，但是其是相对字宽来度量的，1 em 就表示一个字宽

空格在积分公式的书写上十分有用，如果我们直接写的话，如下所示

1
\int y \mathrm{d} x

\[ \int y \mathrm{d} x \]

我们可以看到被积函数 \(y\) 和微元 \(\mathrm{d}x\) 之间距离太短，看起来不是很自然，此时我们就可以在二者之间插入一个小的空白，如下所示

1
\int y \,\mathrm{d} x

\[ \int y \,\mathrm{d} x \]

这样看起来就十分自然了。

另外一个示例就是分段函数的表示

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$$
f(n) = 
\begin{cases}
n / 2 & \quad \text{if } n \text{ is even} \\
-(n+1)/2 & \quad \text{if } n \text{ is odd}
\end{cases}
$$

\[ f(n) = \begin{cases} n / 2 & \quad \text{if } n \text{ is even} \\ -(n+1)/2 & \quad \text{if } n \text{ is odd} \end{cases} \]

字体

Name Command Example
Upright Roman Font \mathrm{} \(\mathrm{x}\)
Normal Italic Font \mathnormal{} \(\mathnormal{x}\)
Calligraphic Font \mathcal{} \(\mathcal{X}\)
Upright Roman Boldface \mathbf{} \(\mathbf{x}\)
Upright Sans Serif \mathsf{} \(\mathsf{x}\)
Italic Font \mathit{} \(\mathit{x}\)
Typewritter Font \mathtt{} \(\mathtt{x}\)
Blackboard Bold Font \mathbb{} \(\mathbb{X}\)
Eular Calligraphic Font \mathscr{} \(\mathscr{X}\)
Fraktur(Gothic) Font \mathfrak{} \(\mathfrak{X}\)

注：

  1. Calligraphic 表示书法体（花体），Euler Calligraphic 为欧拉手稿字体
  2. Sans Serif 表示非衬线字体（不包含其他多余的笔画）
  3. Boldface 表示粗体
  4. Typewriter Font 是等宽字体
  5. 如果不加任何标注，默认的字体就是 Normal Italic Font，也就是 Roman 字体的斜体形式，如 \(hello\)

常用公式写法

三角函数

1
\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta

\[ \cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \]

极限

1
\lim\limits_{x \to \infty} \exp(-x) = 0

\[ \lim\limits_{x \to \infty} \exp(-x) = 0 \]

\limits 指令将后续紧跟的上标 ^ 和下标 _ 放置在当前符号的上方（不写的其实也可以正常渲染，但是加上比较符合我们的观察）

取模

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\begin{align}
& a \bmod b \\
& x \equiv a \pmod{b} 
\end{align}

\[ \begin{align} & a \bmod b \\ & x \equiv a \pmod{b} \end{align} \]

上下标

通过 _ 表示下标，^ 表示上标，如果需要将一块一整体进行上标，需要使用 {} 进行包裹

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\begin{align}
n^{22} & \\
k_{n+1} & = n^2 + k_n^2 - k_{n-1} \\
f(n) & = \left. n^5 + 4n^2 + 2 \right|_{n=17}
\end{align}

\[ \begin{align} n^{22} & \\ k_{n+1} & = n^2 + k_n^2 - k_{n-1} \\ f(n) & = \left. n^5 + 4n^2 + 2 \right|_{n=17} \end{align} \]

分数和二项式系数

使用 \frac{numerator}{denominator} 来表示分数（numerator表示分子，denominator表示分母）

1
\frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}

\[ \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k} \]

分数也可以进行嵌套

1
\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{y-z}

\[ \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{y-z} \]

为了在一行表示分数，我们也可以将分数表示为斜线形式

1
^3/_7 \quad 3 / 7

\[ ^3/_7 \quad 3 / 7 \] 使用 \frac{...}{...} 我们也可以表示其他内容，例如乘法和加法公式

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\frac{
	\begin{array}[b]{r}
		\left( x_1 x_2 \right) \\
		\times \left( x'_1 x'_2 \right)
	\end{array}
}{
	\left( y_1 y_2 y_3 y_4 \right)
}

\[ \frac{ \begin{array}[b]{r} \left( x_1 x_2 \right)\\ \times \left(x'_1 x'_2\right) \end{array} }{ \left( y_1y_2y_3y_4 \right) } \]

其中对齐公式使用的 \align 以及 \begin{}...\end{} 会单独进行详细地介绍。

根式

使用 \sqrt{...} 来表示根号，默认为2，也可以指定为其他幂次，通过\sqrt[n]{} 来指定

1
\sqrt[n]{1 + x + x^2 + x^3 +\cdots + x^n}

\[ \sqrt[n]{1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n} \]

求和、乘积与积分

通过 \sum _{} ^{} {} 来表示大型加法表达式，如下

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$$
\sum _{i=1} ^{\infty} x^i
$$

\[ \sum _{i=1} ^{\infty} x^i \]

对于连乘也是类似 \prod _{} ^{} {} 来表示大型乘法表达式，如下

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3
$$
\prod _{i=1} ^{n} x^i
$$

\[ \prod _{i=1} ^{n} x^i \]

积分（integral），通过 \int _{} ^{} {} 来表示积分符号

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$$
\int _{0} ^{\pi} \sin x \,\mathrm{d}x
$$

\[ \int _{0} ^{\pi} \sin x \,\mathrm{d}x \]

除了一重积分外，我们还有各种各样的积分符号，如二重积分、三重积分、曲面积分等等，其使用的积分符号也有相应的变化

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$$
\begin{align}
& \iint \limits _V \mu(u,v) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v
\\
& \iiint \limits _V \mu(u,v,w) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w
\\
& \iiiint \limits _V \mu(t,u,v,w) \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w
\\
& \idotsint \limits _V \mu(u_1,\dots,u_k) \,\mathrm{d}u_1 \dots \mathrm{d}u_k
\end{align}
$$

\[ \begin{align} & \iint \limits _V \mu(u,v) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \\ & \iiint \limits _V \mu(u,v,w) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w \\ & \iiiint \limits _V \mu(t,u,v,w) \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w \\ & \idotsint \limits _V \mu(u_1,\dots,u_k) \,\mathrm{d}u_1 \dots \mathrm{d}u_k \end{align} \]

矩阵

对于矩阵而言，需要使用 \begin{}...\end{} 来包裹（对齐）

普通矩阵

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$$
\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
a & b & c
\end{matrix}
$$

\[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{matrix} \]

括号矩阵（pmatrix）

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$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
a & b & c
\end{pmatrix}
$$

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{pmatrix} \]

方括号矩阵（bmatrix）

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$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
a & b & c
\end{bmatrix}
$$

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{bmatrix} \]

花括号矩阵（Bmatrix）

1
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$$
\begin{Bmatrix}
1 & 2 & 3\\
a & b & c
\end{Bmatrix}
$$

\[ \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{Bmatrix} \]

竖线矩阵（vmatrix）

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$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$

\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \]

双数竖线矩阵（Vmatrix）

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$$
\begin{Vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{Vmatrix}
$$

\[ \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{Vmatrix} \]

我们也可以使用其他分界符搭配 \left ... \right 来构造其他形式，例如

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$$
\left\langle
\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
a & b & c
\end{matrix}
\right\rangle
$$

\[ \left\langle \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{matrix} \right\rangle \]

如果想在一行显示矩阵，我们可以使用 smallmatrix 布局

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$ \big(\begin{smallmatrix}
  a & b\\
  c & d
\end{smallmatrix}\big)$

这一行包含矩阵公式：\(\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)\)

注：在 markdown 中，内联公式必须在同一行

(但是这一行不是很好写捏:(

公式的对齐

对齐显示

使用 align 来表示多行对齐公式（还有一个 align ，其效果和 align 类似，只不过二者使用场景不一样，在 markdown 需要对齐的话使用 align 基本就可以了），使用 \\ 来换行，& 来指示需要对齐的位置

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$$
\begin{align}
A & = \frac{\pi r^2}{2} \\
  & = \frac{1}{2} \pi r^2
\end{align}
$$

\[ \begin{align} A & = \frac{\pi r^2}{2} \\ & = \frac{1}{2} \pi r^2 \end{align} \]

这样就可以在等号处对齐了。

我们也可以使用 align 实现表格式的对齐，示例如下：

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$$
\begin{align}
f(x) = a x^2 + b x + c \quad  g(x) = d x^3 \\
f'(x) = 2 a x + b  \quad g'(x) = 3 d x ^2 
\end{align}
$$

\[ \begin{align} f(x) = a x^2 + b x + c \quad g(x) = d x^3 \\ f'(x) = 2 a x + b \quad g'(x) = 3 d x ^2 \end{align} \]

我们的目标是将两个公式分别在等号处对齐。

首先观察一下其对齐情况，可以看到两行公式目前在末尾处是对齐的，这就相当于我们在末尾加上了一个 &

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$$
\begin{align}
f(x) = a x^2 + b x + c \quad  g(x) = d x^3 & \\
f'(x) = 2 a x + b  \quad g'(x) = 3 d x ^2 &
\end{align}
$$

\[ \begin{align} f(x) = a x^2 + b x + c \quad g(x) = d x^3 & \\ f'(x) = 2 a x + b \quad g'(x) = 3 d x ^2 & \end{align} \]

如果用表格来描述这个公式，如下所示

\(\Rightarrow\) &
\(f(x) = a x^2 + b x + c \quad g(x) = d x^3\)
\(f'(x) = 2 a x + b \quad g'(x) = 3 d x ^2\)

如果我们想要公式在第一个等于号时对齐，那么在等号前加上 &，如下

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$$
\begin{align}
f(x) &= a x^2 + b x + c \quad  g(x) = d x^3 & \\
f'(x) &= 2 a x + b  \quad g'(x) = 3 d x ^2 &
\end{align}
$$

\[ \begin{align} f(x) &= a x^2 + b x + c \quad g(x) = d x^3 & \\ f'(x) &= 2 a x + b \quad g'(x) = 3 d x ^2 & \end{align} \]

可以观察到，此时在 \(f(x)\) 和 \(f'(x)\) 后的等号对齐了，但是其末尾处并不对齐了

此时我们将其表格化，如下所示

\(\Rightarrow\) & \(\Leftarrow\) &
$f(x) $ \(=a x^2 + b x + c \quad g(x) = d x^3\)
\(f'(x)\) \(= 2 a x + b \quad g'(x) = 3 d x ^2\)

可以看到，我们插入的 & 将公式划分成了两列，而在 & 左侧的列为右对齐，右侧的列为左对齐，这样就形成了在 & 处对齐的效果，由于后半部所在的列已经左对齐了，自然也就不能在末尾处对齐了。

我们继续对公式进行修改，将 \quad 替换为 &

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$$
\begin{align}
f(x) &= a x^2 + b x + c &  g(x) = d x^3 \\
f'(x) &= 2 a x + b  & g'(x) = 3 d x ^2
\end{align}
$$

\[ \begin{align} f(x) &= a x^2 + b x + c & g(x) = d x^3 \\ f'(x) &= 2 a x + b & g'(x) = 3 d x ^2 \end{align} \]

此时可以发现公式又在末尾处对齐了，将其转化成表格

\(\Rightarrow\) & \(\Leftarrow\) & \(\Rightarrow\) &
$f(x) $ \(=a x^2 + b x + c\) \(g(x) = d x^3\)
\(f'(x)\) \(= 2 a x + b\) \(g'(x) = 3 d x ^2\)

最后我们在 \(g(x)\) 和 \(g'(x)\) 后添加 &

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$$
\begin{align}
f(x) &= a x^2 + b x + c &  g(x) & = d x^3 \\
f'(x) &= 2 a x + b  & g'(x)  & = 3 d x ^2
\end{align}
$$

\[ \begin{align} f(x) &= a x^2 + b x + c & g(x) & = d x^3 \\ f'(x) &= 2 a x + b & g'(x) & = 3 d x ^2 \end{align} \]

最终的表格如下所示

\(\Rightarrow\) & \(\Leftarrow\) & \(\Rightarrow\) & \(\Leftarrow\) &
\(f(x)\) \(=ax^2+bx+c\) \(g(x)\) \(=dx^3\)
\(f'(x)\) \(= 2 a x + b\) \(g'(x)\) \(=3dx^3\)

从上面的解析中可以看出，& 有两个作用

  1. 分块，以 & 为中心划分成左右两部分
  2. 如果左侧列没有对齐的话，优先右对齐，对于右侧列同理，优先左对齐

这样我们参照上面的表格，第一个和第三个 & 左右两侧都是如此，但是第二个 & 由于其左侧块已经有对齐方式了（左对齐），无法再进行布局安排，因此这个 & 只起到了第一个作用，第二个已经自动忽略了。

Tips：如果想实现列表形式的公式展示，可以将 & 作为列的分割符，对于一列，我们直接使用 & a & 包裹即可（左对齐）

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$$
\begin{align}
& a & & b & & c & d & \\
& e & & f & & g & h &
\end{align}
$$

\[ \begin{align} & a & & b & & c & d & \\ & e & & f & & g & h & \end{align} \]

这样虽然有些冗余，但是使用起来比较简单，无需思考 & 放置的位置

居中显示

相比于自定义对齐，居中显示就显得简单很多，使用 gather 即可

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$$
\begin{gather}
2x - 5y =  8 \\ 
3x^2 + 9y =  3a + c
\end{gather}
$$

\[ \begin{gather} 2x - 5y = 8 \\ 3x^2 + 9y = 3a + c \end{gather} \]

导入其他包

有时候我们想要在 MathJax 中使用其他宏包，例如 Physics 宏，我们可以直接在 LaTex 代码中使用 require{...} 来添加扩展。

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$$
\require{physics}
\abs{a} \quad \grad{x} \quad \order{1} \quad \cross
$$

开启 Physics 宏之后渲染结果 \[ \require{physics} \abs{a} \quad \grad{x} \quad \order{1} \quad \cross \] 如果加载失败，将会显示如下结果

不过感觉 require{} 功能在 mathjax 中还有点问题，最好还是在设置中手动开启。

参考

  1. LaTeX/Mathematics - Wikibooks, open books for an open world
  2. LaTeX/Advanced Mathematics - Wikibooks, open books for an open world
  3. LaTeX Math Symbols Cheat Sheet - Kapeli
  4. Mathematical expressions - Overleaf, Online LaTeX Editor